Задача 45. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), CH — высота, \(AC = 3,\;\;\sin \,A = \frac{{\sqrt {35} }}{6}.\) Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 17,5.

Решение

По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}A = 1 — \frac{{35}}{{36}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos A = \frac{1}{6}\).

По определению косинуса из треугольника АВС:

\(\cos A = \frac{{AC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{6} = \frac{3}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AB = 18\).

По определению косинуса из треугольника ACH:

\(\cos A = \frac{{AH}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{6} = \frac{{AH}}{3}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AH = 0,5\).

Тогда:  \(BH = AB — AH = 18 — 0,5 = 17,5\).

Ответ:  17,5.