Задача 5. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), \(AB = 7\), \({\text{tg}}\,A = \frac{{33}}{{4\sqrt {33} }}\). Найдите AС.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Воспользуемся тем, что:

\(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}A = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{{{33}^2}}}{{16 \cdot 33}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{33}}{{16}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}A}} = \frac{{49}}{{16}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos A = \frac{4}{7}\).

По определению косинуса из треугольника ABC:

\(\cos A = \frac{{AC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{7} = \frac{{AC}}{7}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AC = 4\).

Ответ:  4.