Задача 54. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), CH — высота, \(BC = 4\sqrt 5 ,\;\;BH = 4.\) Найдите \({\text{tg}}\,A.\)
\(B{C^2} = B{H^2} + C{H^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,C{H^2} = {\left( {4\sqrt 5 } \right)^2} — {4^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,CH = 8\). По определению котангенса из треугольника ВСН: \({\rm{ctg}}\,B = \frac{{BH}}{{CH}} = \frac{4}{8} = 0,5\). По определению тангенса и котангенса из треугольника АВС: \({\rm{tg}}\,A = \frac{{BC}}{{AC}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ctg}}\,B = \frac{{BC}}{{AC}}\) Следовательно, \({\rm{tg}}\,A = {\rm{ctg}}\,B = 0,5\). Ответ: 0,5.Решение
По теореме Пифагора из треугольника BCH: