Задача 6. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), \(AB = 7\), \({\text{tg}}\,A = \frac{{4\sqrt {33} }}{{33}}\). Найдите BС.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Воспользуемся тем, что:

\(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}A = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{16 \cdot 33}}{{{{33}^2}}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{16}}{{33}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}A}} = \frac{{49}}{{33}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\cos A = \frac{{\sqrt {33} }}{7}\).

По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin A = \sqrt {1 — \frac{{33}}{{49}}}  = \frac{4}{7}\).

По определению синуса из треугольника ABC:

\(\sin A = \frac{{BC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{7} = \frac{{BC}}{7}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,BC = 4\).

Ответ:  4.