Задача 61. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), CH — высота,  \(AH = 27,\;\;{\text{tg}}\,A = \frac{2}{3}.\) Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 12.

Решение

По определению тангенса из треугольника AСН:

\({\rm{tg}}\,A = \frac{{CH}}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{3} = \frac{{CH}}{{27}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,CH = 18\).

По определению тангенса и котангенса из треугольника АВС:

\({\rm{tg}}\,A = \frac{{BC}}{{AC}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ctg}}\,B = \frac{{BC}}{{AC}}\)

Следовательно, \({\rm{ctg}}\,B = {\rm{tg}}\,A = \frac{2}{3}.\)

По определению котангенса из треугольника ВСН:

\({\rm{ctg}}\,B = \frac{{BH}}{{CH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{3} = \frac{{BH}}{{18}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,BH = 12\).

Ответ:  12.