Задача 62. В треугольнике ABC угол C равен \({90^ \circ }\), CH — высота, \(BH = 12,\;\;{\text{tg}}\,A = \frac{2}{3}.\) Найдите AH.

Ответ

ОТВЕТ: 27.

Решение

По определению тангенса и котангенса из треугольника АВС:

\({\rm{tg}}\,A = \frac{{BC}}{{AC}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ctg}}\,B = \frac{{BC}}{{AC}}\)

Следовательно, \({\rm{ctg}}\,B = {\rm{tg}}\,A = \frac{2}{3}\).

По определению котангенса из треугольника ВСН:

\({\rm{ctg}}\,B = \frac{{BH}}{{CH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{3} = \frac{{12}}{{CH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,CH = 18\).

По определению тангенса из треугольника AСН:

\({\rm{tg}}\,A = \frac{{CH}}{{AH}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{3} = \frac{{18}}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AH = 27\).

Ответ:  27.