По определению тангенса и котангенса из треугольника АВС:
\({\rm{tg}}\,A = \dfrac{{BC}}{{AC}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ctg}}\,B = \dfrac{{BC}}{{AC}}\)
Следовательно, \({\rm{ctg}}\,B = {\rm{tg}}\,A = \dfrac{2}{3}\).
По определению котангенса из треугольника ВСН:
\({\rm{ctg}}\,B = \dfrac{{BH}}{{CH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{2}{3} = \dfrac{{12}}{{CH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,CH = 18\).
По определению тангенса из треугольника AСН:
\({\rm{tg}}\,A = \dfrac{{CH}}{{AH}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{2}{3} = \dfrac{{18}}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AH = 27\).
Ответ: 27.