По определению синуса и косинуса из треугольника АВС:
\(\sin A = \frac{{BC}}{{AB}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos B = \frac{{BC}}{{AB}}\).
Следовательно, \(\sin A = \cos B = \frac{2}{3}\).
По определению косинуса из треугольника BCH:
\(\cos B = \frac{{BH}}{{BC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{3} = \frac{{12}}{{BC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,BC = 18\).
По определению синуса из треугольника АBC:
\(\sin A = \frac{{BC}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{3} = \frac{{18}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AB = 27\).
Ответ: 27.