Задача 69. Найдите острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 45.

Решение

Пусть АК  и  BР биссектрисы, которые пересекаются в точке  О.

\(\angle \,PAO = \angle \,BAO = \alpha ;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\angle \,ABO = \angle \,KBO = \beta \,\,\,\,\)

Из треугольника ABС:

\(2\alpha  + 2\beta  + {90^ \circ } = {180^ \circ }\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,2\alpha  + 2\beta  = {90^ \circ }\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\alpha  + \beta  = {45^ \circ }\).

Из треугольника AOB:

\(\angle \,AOB + \alpha  + \beta  = {180^ \circ }\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\angle \,AOB + {45^ \circ } = {180^ \circ }\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\angle \,AOB = {135^ \circ }\).

Тогда:  \(\angle \,AOP = {180^ \circ } — {135^ \circ } = {45^ \circ }\)

Ответ:  45.