Задача 73. В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен 40°. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы: \(CM = AM = BM\). Следовательно, треугольник АСМ равнобедренный: \(\angle \,MCH = {40^ \circ }\) (по условию). \(\angle \,ACM = \angle \,MAC = \alpha \). Тогда из треугольника АСН: \(\alpha + \alpha + {40^ \circ } + {90^ \circ } = {180^ \circ }\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,2\alpha = {50^ \circ }\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\alpha = {25^ \circ }\). \(\angle \,B = {180^ \circ } — {90^ \circ } — {25^ \circ } = {65^ \circ }\). Следовательно, больший угол треугольника равен \({65^ \circ }\). Ответ: 65.
СН – высота; СМ – медиана.