Задача 11. В треугольнике ABC \(AC = BC,\;\;AB = 4,\;\;\sin A = \frac{{\sqrt {17} }}{{17}}.\) Найдите высоту CH.

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН является медианой и АН = ВН.

\(AH = BH = \frac{{AB}}{2} = \frac{4}{2} = 2\).

По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}A = 1 — \frac{{17}}{{{{17}^2}}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos A = \frac{4}{{\sqrt {17} }}\).

Тогда:  \({\rm{tg}}\,A = \frac{{\sin A}}{{\cos A}} = \frac{{\sqrt {17} }}{{17}}:\frac{4}{{\sqrt {17} }} = \frac{{\sqrt {17} }}{{17}} \cdot \frac{{\sqrt {17} }}{4} = \frac{1}{4}\).

По определению тангенса из треугольника AСН:

\({\rm{tg}}\,A = \frac{{CH}}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{4} = \frac{{CH}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,CH = 0,5\).

Ответ:  0,5.