Задача 11. В треугольнике ABC \(AC = BC,\;\;AB = 4,\;\;\sin A = \frac{{\sqrt {17} }}{{17}}.\) Найдите высоту CH.
ОТВЕТ: 0,5.
Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН является медианой и АН = ВН. \(AH = BH = \frac{{AB}}{2} = \frac{4}{2} = 2\). По основному тригонометрическому тождеству: \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}A = 1 — \frac{{17}}{{{{17}^2}}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos A = \frac{4}{{\sqrt {17} }}\). Тогда: \({\rm{tg}}\,A = \frac{{\sin A}}{{\cos A}} = \frac{{\sqrt {17} }}{{17}}:\frac{4}{{\sqrt {17} }} = \frac{{\sqrt {17} }}{{17}} \cdot \frac{{\sqrt {17} }}{4} = \frac{1}{4}\). По определению тангенса из треугольника AСН: \({\rm{tg}}\,A = \frac{{CH}}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{4} = \frac{{CH}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,CH = 0,5\). Ответ: 0,5.