ЕГЭ профильный уровень. №1 Равнобедренный треугольник. Задача 12

Задача 12. В треугольнике ABC \(AC = BC,\;\;AB = 1,\;\;\cos A = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}}.\) Найдите высоту CH.

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН является медианой и АН = ВН.

\(AH = BH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{1}{2} = 0,5\).

По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}A = 1 — \dfrac{{17}}{{{{17}^2}}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin A = \dfrac{4}{{\sqrt {17} }}\).

Тогда: \({\rm{tg}}\,A = \dfrac{{\sin A}}{{\cos A}} = \dfrac{4}{{\sqrt {17} }}:\dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}} = \dfrac{4}{{\sqrt {17} }} \cdot \dfrac{{17}}{{\sqrt {17} }} = 4\).

По определению тангенса из треугольника AСН:

\({\rm{tg}}\,A = \dfrac{{CH}}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,4 = \dfrac{{CH}}{{0,5}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,CH = 2\).

Ответ: 2.