Задача 16. В треугольнике ABC \(AC = BC,\) высота CH равна 0,5, \(\sin A = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}}.\) Найдите AB.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН является медианой и АН = ВН.  По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}A = 1 — \dfrac{{17}}{{{{17}^2}}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos A = \dfrac{4}{{\sqrt {17} }}\).

Тогда:  \({\rm{tg}}\,A = \dfrac{{\sin A}}{{\cos A}} = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}}:\dfrac{4}{{\sqrt {17} }} = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}} \cdot \dfrac{{\sqrt {17} }}{4} = \dfrac{1}{4}\).

По определению тангенса из треугольника AСН:

\({\rm{tg}}\,A = \dfrac{{CH}}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{4} = \dfrac{{0,5}}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AH = 2\).

Тогда:  \(AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 2 = 4\).

Ответ:  4.