ЕГЭ профильный уровень. №1 Равнобедренный треугольник. Задача 17

Задача 17. В треугольнике ABC \(AC = BC,\) высота CH равна 20, \(\cos A = 0,6.\) Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 25.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН является медианой и АН = ВН. По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}A = 1 — {0,6^2} = 0,64\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin A = 0,8\).

По определению синуса из треугольника ACH:

\(\sin A = \dfrac{{CH}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,0,8 = \dfrac{{20}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = 25\).

Ответ: 25.