Задача 18. В треугольнике ABC \(AC = BC,\) высота CH равна 2, \(\cos A = \frac{{\sqrt {17} }}{{17}}.\) Найдите AB.
ОТВЕТ: 1.
Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН является медианой и АН = ВН. По основному тригонометрическому тождеству: \({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}A = 1 — \frac{{17}}{{{{17}^2}}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin A = \frac{4}{{\sqrt {17} }}\). Тогда: \({\rm{tg}}\,A = \frac{{\sin A}}{{\cos A}} = \frac{4}{{\sqrt {17} }}:\frac{{\sqrt {17} }}{{17}} = \frac{4}{{\sqrt {17} }} \cdot \frac{{17}}{{\sqrt {17} }} = 4\). По определению тангенса из треугольника AСН: \({\rm{tg}}\,A = \frac{{CH}}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,4 = \frac{2}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AH = 0,5\). Тогда: \(AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 0,5 = 1\). Ответ: 1.