Задача 18. В треугольнике ABC \(AC = BC,\) высота CH равна 2, \(\cos A = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}}.\) Найдите AB.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН является медианой и АН = ВН.   По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}A = 1 — \dfrac{{17}}{{{{17}^2}}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin A = \dfrac{4}{{\sqrt {17} }}\).

Тогда:  \({\rm{tg}}\,A = \dfrac{{\sin A}}{{\cos A}} = \dfrac{4}{{\sqrt {17} }}:\dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}} = \dfrac{4}{{\sqrt {17} }} \cdot \dfrac{{17}}{{\sqrt {17} }} = 4\).

По определению тангенса из треугольника AСН:

\({\rm{tg}}\,A = \dfrac{{CH}}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,4 = \dfrac{2}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AH = 0,5\).

Тогда:  \(AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 0,5 = 1\).

Ответ:  1.