Задача 19. В треугольнике ABC \(AC = BC,\) высота CH равна 4, \({\text{tg}}\,A = \frac{{4\sqrt {33} }}{{33}}.\) Найдите AC.
\({\rm{tg}}\,A = \frac{{CH}}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{4\sqrt {33} }}{{33}} = \frac{4}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AH = \frac{{33}}{{\sqrt {33} }} = \sqrt {33} \). По теореме Пифагора из треугольника ACH: \(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,A{C^2} = {\left( {\sqrt {33} } \right)^2} + {4^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = 7\). Ответ: 7.Решение
Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН является медианой и АН = ВН. По определению тангенса из треугольника AСН: