ЕГЭ профильный уровень. №1 Равнобедренный треугольник. Задача 19

Задача 19. В треугольнике ABC \(AC = BC,\) высота CH равна 4, \({\text{tg}}\,A = \dfrac{{4\sqrt {33} }}{{33}}.\) Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН является медианой и АН = ВН. По определению тангенса из треугольника AСН:

\({\rm{tg}}\,A = \dfrac{{CH}}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{4\sqrt {33} }}{{33}} = \dfrac{4}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AH = \dfrac{{33}}{{\sqrt {33} }} = \sqrt {33} \).

По теореме Пифагора из треугольника ACH:

\(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,A{C^2} = {\left( {\sqrt {33} } \right)^2} + {4^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = 7\).

Ответ: 7.