Задача 29. В треугольнике ABC \(AC = BC,\) AH – высота, \(\sin BAC = \frac{4}{{\sqrt {17} }}.\) Найдите \({\text{tg}}\,BAH.\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому  \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\).

Следовательно,  \(\sin B = \frac{4}{{\sqrt {17} }}\).

По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}B = 1 — \frac{{16}}{{17}} = \frac{1}{{17}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos B = \frac{1}{{\sqrt {17} }}\).

Тогда:  \({\rm{ctg}}\,B = \frac{{\cos B}}{{\sin B}} = \frac{1}{{\sqrt {17} }}:\frac{4}{{\sqrt {17} }} = \frac{1}{{\sqrt {17} }} \cdot \frac{{\sqrt {17} }}{4} = \frac{1}{4}\).

По определению тангенса и котангенса из треугольника АВH:

\({\rm{tg}}\,BAH = \frac{{BH}}{{AH}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ctg}}\,ABH = \frac{{BH}}{{AH}}\)

Следовательно, \({\rm{tg}}\,BAH = {\rm{ctg}}\,ABH = \frac{1}{4} = 0,25\).

Ответ:  0,25.