Задача 32. В треугольнике ABC \(AC = BC,\) AH – высота, \(\cos BAC = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}}.\) Найдите \({\text{tg}}\,BAH.\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,25.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому  \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\).

Следовательно,  \(\cos B = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}}\).

По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}B = 1 — \dfrac{{17}}{{{{17}^2}}} = \dfrac{{16}}{{17}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin B = \dfrac{4}{{\sqrt {17} }}\).

Тогда:  \({\rm{ctg}}\,B = \dfrac{{\cos B}}{{\sin B}} = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}}:\dfrac{4}{{\sqrt {17} }} = \dfrac{{\sqrt {17} }}{{17}} \cdot \dfrac{{\sqrt {17} }}{4} = \dfrac{1}{4}\).

По определению тангенса и котангенса из треугольника АВH:

\({\rm{tg}}\,BAH = \dfrac{{BH}}{{AH}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ctg}}\,ABH = \dfrac{{BH}}{{AH}}.\)

Следовательно, \({\rm{tg}}\,BAH = {\rm{ctg}}\,ABH = \dfrac{1}{4} = 0,25\).

Ответ:  0,25.