Задача 34. В треугольнике ABC \(AC = BC,\) AH – высота, \({\text{tg}}\,BAC = \frac{7}{{24}}.\) Найдите \(\cos BAH.\)
ОТВЕТ: 0,28.
Треугольник АВС равнобедренный, поэтому \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\). Следовательно, \({\rm{tg}}\,B = \frac{7}{{24}}\). Воспользуемся тем, что: \(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}B = \frac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{49}}{{576}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}B}} = \frac{{625}}{{576}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \(\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos B = \frac{{24}}{{25}}\). По основному тригонометрическому тождеству: \({\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}B = 1 — \frac{{576}}{{625}} = \frac{{49}}{{625}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin B = \frac{7}{{25}}\). По определению синуса и косинуса из треугольника АВH: \(\cos BAH = \frac{{AH}}{{AB}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sin ABH = \frac{{AH}}{{AB}}\). Следовательно, \(\cos BAH = \sin ABH = \frac{7}{{25}} = 0,28\). Ответ: 0,28.