Задача 34. В треугольнике ABC \(AC = BC,\) AH – высота, \({\text{tg}}\,BAC = \frac{7}{{24}}.\) Найдите \(\cos BAH.\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,28.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому  \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\).

Следовательно,  \({\rm{tg}}\,B = \frac{7}{{24}}\).

Воспользуемся тем, что:

\(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}B = \frac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{49}}{{576}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}B}} = \frac{{625}}{{576}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\(\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos B = \frac{{24}}{{25}}\).

По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}B = 1 — \frac{{576}}{{625}} = \frac{{49}}{{625}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin B = \frac{7}{{25}}\).

По определению синуса и косинуса из треугольника АВH:

\(\cos BAH = \frac{{AH}}{{AB}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sin ABH = \frac{{AH}}{{AB}}\).

Следовательно, \(\cos BAH = \sin ABH = \frac{7}{{25}} = 0,28\).

Ответ:  0,28.