Задача 34. В треугольнике ABC \(AC = BC,\) AH – высота, \({\text{tg}}\,BAC = \dfrac{7}{{24}}.\) Найдите \(\cos BAH.\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,28.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому  \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\).

Следовательно,  \({\rm{tg}}\,B = \dfrac{7}{{24}}\).

Воспользуемся тем, что:

\(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}B = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \dfrac{{49}}{{576}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{{\cos }^2}B}} = \dfrac{{625}}{{576}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\(\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos B = \dfrac{{24}}{{25}}\).

По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}B = 1 — \dfrac{{576}}{{625}} = \dfrac{{49}}{{625}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin B = \dfrac{7}{{25}}\).

По определению синуса и косинуса из треугольника АВH:

\(\cos BAH = \dfrac{{AH}}{{AB}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sin ABH = \dfrac{{AH}}{{AB}}\).

Следовательно, \(\cos BAH = \sin ABH = \dfrac{7}{{25}} = 0,28\).

Ответ:  0,28.