ЕГЭ профильный уровень. №1 Равнобедренный треугольник. Задача 35

Задача 35. В треугольнике ABC \(AC = BC,\) AH – высота, \({\text{tg}}\,BAC = 2.\) Найдите \({\text{tg}}\,BAH.\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,5.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\).

Следовательно, \({\rm{tg}}\,B = 2\).

Воспользуемся тем, что:

\({\rm{tg}}\,B \cdot {\rm{ctg}}\,B = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,2 \cdot {\rm{ctg}}\,B = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ctg}}\,B = \dfrac{1}{2}.\)

По определению тангенса и котангенса из треугольника АВH:

\({\rm{tg}}\,BAH = \dfrac{{BH}}{{AH}};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{ctg}}\,ABH = \dfrac{{BH}}{{AH}}.\)

Следовательно, \({\rm{tg}}BAH = {\rm{ctg}}ABH = \dfrac{1}{2} = 0,5\).

Ответ: 0,5.