Задача 37. В треугольнике ABC \(AC = BC\), AH — высота, \(AB = 5,\) \(\sin BAC = \dfrac{7}{{25}}.\) Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 4,8.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому  \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\).

Следовательно,  \(\sin B = \dfrac{7}{{25}}\).

По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}B = 1 — \dfrac{{49}}{{625}} = \dfrac{{576}}{{625}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos B = \dfrac{{24}}{{25}}\).

По определению косинуса из треугольника ABH:

\(\cos B = \dfrac{{BH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{24}}{{25}} = \dfrac{{BH}}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,BH = \dfrac{{24}}{5} = 4,8\).

Ответ:  4,8.