ЕГЭ профильный уровень. №1 Равнобедренный треугольник. Задача 38

Задача 38. В треугольнике ABC \(AC = BC\), \(AB = 5,\) \(\cos BAC = \dfrac{7}{{25}}.\) Найдите высоту AH.

Ответ

ОТВЕТ: 4,8.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\).

Следовательно, \(\cos B = \dfrac{7}{{25}}\).

По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}B = 1 — \dfrac{{49}}{{625}} = \dfrac{{576}}{{625}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin B = \dfrac{{24}}{{25}}\).

По определению синуса из треугольника ABH:

\(\sin B = \dfrac{{AH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{24}}{{25}} = \dfrac{{AH}}{5}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AH = \dfrac{{24}}{5} = 4,8\).

Ответ: 4,8.