Задача 40. В треугольнике ABC \(AC = BC\), \(AB = 7,\) \({\text{tg}}\,BAC = \dfrac{{4\sqrt {33} }}{{33}}.\) Найдите высоту AH.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому  \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\).

Следовательно,  \({\rm{tg}}B = \dfrac{{4\sqrt {33} }}{{33}}\).

Воспользуемся тем, что:

\(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}B = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \dfrac{{16 \cdot 33}}{{{{33}^2}}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \dfrac{{16}}{{33}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\(\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{{\cos }^2}B}} = \dfrac{{49}}{{33}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos B = \dfrac{{\sqrt {33} }}{7}\).

По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}B = 1 — \dfrac{{33}}{{49}} = \dfrac{{16}}{{49}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin B = \dfrac{4}{7}\).

По определению синуса из треугольника ABH:

\(\sin B = \dfrac{{AH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{4}{7} = \dfrac{{AH}}{7}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AH = 4\).

Ответ:  4.