Задача 40. В треугольнике ABC \(AC = BC\), \(AB = 7,\) \({\text{tg}}\,BAC = \frac{{4\sqrt {33} }}{{33}}.\) Найдите высоту AH.
ОТВЕТ: 4.
Треугольник АВС равнобедренный, поэтому \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\). Следовательно, \({\rm{tg}}B = \frac{{4\sqrt {33} }}{{33}}\). Воспользуемся тем, что: \(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}B = \frac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{16 \cdot 33}}{{{{33}^2}}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{16}}{{33}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \(\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}B}} = \frac{{49}}{{33}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos B = \frac{{\sqrt {33} }}{7}\). По основному тригонометрическому тождеству: \({\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\sin ^2}B = 1 — \frac{{33}}{{49}} = \frac{{16}}{{49}}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\sin B = \frac{4}{7}\). По определению синуса из треугольника ABH: \(\sin B = \frac{{AH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{7} = \frac{{AH}}{7}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AH = 4\). Ответ: 4.