Задача 41. В треугольнике ABC \(AC = BC\), AH — высота, \(AB = 7,\) \({\text{tg}}\,BAC = \dfrac{{33}}{{4\sqrt {33} }}.\) Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому  \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\).

Следовательно,  \({\rm{tg}}\,B = \dfrac{{33}}{{4\sqrt {33} }}\).

Воспользуемся тем, что:

\(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}B = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \dfrac{{{{33}^2}}}{{16 \cdot 33}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \dfrac{{33}}{{16}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\(\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{{{{\cos }^2}B}} = \dfrac{{49}}{{16}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos B = \dfrac{4}{7}\).

По определению косинуса из треугольника ABH:

\(\cos B = \dfrac{{BH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{4}{7} = \dfrac{{BH}}{7}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,BH = 4\).

Ответ:  4.