Задача 41. В треугольнике ABC \(AC = BC\), AH — высота, \(AB = 7,\) \({\text{tg}}\,BAC = \frac{{33}}{{4\sqrt {33} }}.\) Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 4.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому  \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\).

Следовательно,  \({\rm{tg}}\,B = \frac{{33}}{{4\sqrt {33} }}\).

Воспользуемся тем, что:

\(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}B = \frac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{{{33}^2}}}{{16 \cdot 33}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{33}}{{16}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}B}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\(\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{{{\cos }^2}B}} = \frac{{49}}{{16}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos B = \frac{4}{7}\).

По определению косинуса из треугольника ABH:

\(\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{7} = \frac{{BH}}{7}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,BH = 4\).

Ответ:  4.