Треугольник АВС равнобедренный, поэтому \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\) и высота, проведённая из С является медианой, то есть АК = КВ.
\(\sin HBA = \sin BAC = 0,25\).
По определению синуса из треугольника CBK:
\(\sin B = \dfrac{{CK}}{{CB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{4} = \dfrac{{CK}}{{4\sqrt {15} }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,CK = \sqrt {15} \).
По теореме Пифагора из треугольника BCK:
\(C{B^2} = C{K^2} + B{K^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,B{K^2} = {\left( {4\sqrt {15} } \right)^2} — {\left( {\sqrt {15} } \right)^2} = 225\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,BK = 15\).
Тогда: \(AB = 2 \cdot BK = 2 \cdot 15 = 30\).
По определению синуса из треугольника ABH:
\(\sin HBA = \dfrac{{AH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{1}{4} = \dfrac{{AH}}{{30}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AH = 7,5\).
Ответ: 7,5.