Задача 42. В треугольнике ABC \(AC = BC = 4\sqrt {15} \), \(\sin BAC = 0,25.\) Найдите высоту AH.

Ответ

ОТВЕТ: 7,5.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому  \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\) и высота, проведённая из С является медианой, то есть АК = КВ.

\(\sin HBA = \sin BAC = 0,25\).

По определению синуса из треугольника CBK:

\(\sin B = \frac{{CK}}{{CB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{4} = \frac{{CK}}{{4\sqrt {15} }}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,CK = \sqrt {15} \).

По теореме Пифагора из треугольника BCK:

\(C{B^2} = C{K^2} + B{K^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,B{K^2} = {\left( {4\sqrt {15} } \right)^2} — {\left( {\sqrt {15} } \right)^2} = 225\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,BK = 15\).

Тогда:  \(AB = 2 \cdot BK = 2 \cdot 15 = 30\).

По определению синуса из треугольника ABH:

\(\sin HBA = \frac{{AH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{4} = \frac{{AH}}{{30}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AH = 7,5\).

Ответ:  7,5.