Задача 43. В треугольнике ABC \(AC = BC = 27\), AH — высота, \(\sin BAC = \frac{2}{3}\). Найдите BH.
ОТВЕТ: 30.
Треугольник АВС равнобедренный, поэтому \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\) и высота, проведённая из С, является медианой, то есть АК = КВ. \(\sin HBA = \sin BAC = \frac{2}{3}\). По основному тригонометрическому тождеству: \({\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}B = 1 — \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos B = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\). По определению косинуса из треугольника CKB: \(\cos B = \frac{{KB}}{{CB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{KB}}{{27}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,KB = 9\sqrt 5 \). Тогда: \(AB = 2 \cdot KB = 2 \cdot 9\sqrt 5 = 18\sqrt 5 \). По определению косинуса из треугольника ABH: \(\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{BH}}{{18\sqrt 5 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,BH = 30\). Замечание: Получилось \(HB > BC\). Значит треугольник АВС тупоугольный (угол С тупой) и точка Н находится на продолжении прямой ВС за точкой С. Ответ: 30.