Задача 43. В треугольнике ABC \(AC = BC = 27\), AH — высота, \(\sin BAC = \frac{2}{3}\). Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 30.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому  \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\) и высота, проведённая из С, является медианой, то есть  АК = КВ.

\(\sin HBA = \sin BAC = \frac{2}{3}\).

По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}B = 1 — \frac{4}{9} = \frac{5}{9}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos B = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

По определению косинуса из треугольника CKB:

\(\cos B = \frac{{KB}}{{CB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{KB}}{{27}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,KB = 9\sqrt 5 \).

Тогда:  \(AB = 2 \cdot KB = 2 \cdot 9\sqrt 5  = 18\sqrt 5 \).

По определению косинуса из треугольника ABH:

\(\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{\sqrt 5 }}{3} = \frac{{BH}}{{18\sqrt 5 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,BH = 30\).

Замечание:  Получилось  \(HB > BC\). Значит треугольник АВС тупоугольный (угол С тупой) и точка Н находится на продолжении прямой ВС за точкой С.

Ответ:  30.