Треугольник АВС равнобедренный, поэтому \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\) и высота, проведённая из С, является медианой, то есть АК = КВ.
\(\sin HBA = \sin BAC = \dfrac{2}{3}\).
По основному тригонометрическому тождеству:
\({\sin ^2}B + {\cos ^2}B = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}B = 1 — \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\cos B = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\).
По определению косинуса из треугольника CKB:
\(\cos B = \dfrac{{KB}}{{CB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 5 }}{3} = \dfrac{{KB}}{{27}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,KB = 9\sqrt 5 \).
Тогда: \(AB = 2 \cdot KB = 2 \cdot 9\sqrt 5 = 18\sqrt 5 \).
По определению косинуса из треугольника ABH:
\(\cos B = \dfrac{{BH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 5 }}{3} = \dfrac{{BH}}{{18\sqrt 5 }}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,BH = 30\).
Замечание: Получилось \(HB > BC\). Значит треугольник АВС тупоугольный (угол С тупой) и точка Н находится на продолжении прямой ВС за точкой С.
Ответ: 30.