Задача 44. В треугольнике ABC \(AC = BC = 4\sqrt {15} \), \(\cos BAC = 0,25\). Найдите высоту AH.

Ответ

ОТВЕТ: 7,5.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому  \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\) и высота, проведённая из С, является медианой, то есть АК = КВ.

\(\cos HBA = \cos BAC = 0,25\)

По определению косинуса из треугольника CKB:

\(\cos B = \frac{{KB}}{{CB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{4} = \frac{{KB}}{{4\sqrt {15} }}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,KB = \sqrt {15} \).

Тогда:  \(AB = 2 \cdot KB = 2\sqrt {15} \).

По определению косинуса из треугольника ABH:

\(\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{4} = \frac{{BH}}{{2\sqrt {15} }}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,BH = \frac{{\sqrt {15} }}{2}\).

По теореме Пифагора из треугольника ABH:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{H^2} = {\left( {2\sqrt {15} } \right)^2} — {\left( {\frac{{\sqrt {15} }}{2}} \right)^2} = \frac{{225}}{4}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AH = \frac{{15}}{2} = 7,5.\)

Ответ:  7,5.