Задача 45. В треугольнике ABC \(AC = BC = 27\), AH — высота, \(\cos BAC = \frac{2}{3}\). Найдите BH.

Ответ

ОТВЕТ: 24.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому  \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\) и высота, проведённая из С, является медианой, то есть АК = КВ.

\(\cos HBA = \cos BAC = \frac{2}{3}\).

По определению косинуса из треугольника CKB:

\(\cos B = \frac{{KB}}{{CB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{3} = \frac{{KB}}{{27}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,KB = 18\).

Тогда:  \(AB = 2 \cdot KB = 2 \cdot 18 = 36\).

По определению косинуса из треугольника ABH:

\(\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{3} = \frac{{BH}}{{36}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,BH = 24\).

Ответ:  24.