Треугольник АВС равнобедренный, поэтому \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\) и высота, проведённая из С, является медианой, то есть АК = КВ.
\(\cos HBA = \cos BAC = \frac{2}{3}\).
По определению косинуса из треугольника CKB:
\(\cos B = \frac{{KB}}{{CB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{3} = \frac{{KB}}{{27}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,KB = 18\).
Тогда: \(AB = 2 \cdot KB = 2 \cdot 18 = 36\).
По определению косинуса из треугольника ABH:
\(\cos B = \frac{{BH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{2}{3} = \frac{{BH}}{{36}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,BH = 24\).
Ответ: 24.