ЕГЭ профильный уровень. №1 Равнобедренный треугольник. Задача 47

Задача 47. В треугольнике ABC известно, что \(AC = BC,\;\;AB = 25,\) высота AH равна 20. Найдите \(\cos BAC.\)

Ответ

ОТВЕТ: 0,6.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому \(\angle \,CAB = \angle \,HBA\).

По теореме Пифагора из треугольника ABH:

\(A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,B{H^2} = {25^2} — {20^2} = 225\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,BH = 15.\)

По определению косинуса из треугольника ABH:

\(\cos B = \dfrac{{BH}}{{AB}} = \dfrac{{15}}{{25}} = \dfrac{3}{5} = 0,6\).

Следовательно, \(\cos BAC = \cos B = 0,6\).

Ответ: 0,6.