Задача 5. В треугольнике ABC \(AC = BC = 7,\;\;{\text{tg}}\,A = \dfrac{{33}}{{4\sqrt {33} }}.\) Найдите AB.

Ответ

ОТВЕТ: 8.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН является медианой и АН = ВН.  Воспользуемся тем, что:

\(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}A = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \dfrac{{{{33}^2}}}{{16 \cdot 33}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \dfrac{{33}}{{16}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{49}}{{16}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos A = \dfrac{4}{7}\).

По определению косинуса из треугольника ACH:

\(\cos A = \dfrac{{AH}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{4}{7} = \dfrac{{AH}}{7}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AH = 4\).

Тогда:  \(AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 4 = 8\).

Ответ:  8.