Задача 5. В треугольнике ABC \(AC = BC = 7,\;\;{\text{tg}}\,A = \frac{{33}}{{4\sqrt {33} }}.\) Найдите AB.
ОТВЕТ: 8.
Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН является медианой и АН = ВН. Воспользуемся тем, что: \(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}A = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{{{33}^2}}}{{16 \cdot 33}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{33}}{{16}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{49}}{{16}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos A = \frac{4}{7}\). По определению косинуса из треугольника ACH: \(\cos A = \frac{{AH}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{7} = \frac{{AH}}{7}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AH = 4\). Тогда: \(AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 4 = 8\). Ответ: 8.