ЕГЭ профильный уровень. №1 Равнобедренный треугольник. Задача 57

Задача 57. В тупоугольном треугольнике ABC \(AC = BC = \sqrt {17} \), AH — высота, \(CH = 4\). Найдите \({\text{tg}}\,ACB\).

Ответ

ОТВЕТ: — 0,25.

Решение

Тангенсы смежных углов имеют противоположные знаки, то есть \({\rm{tg}}\,ACB = — {\rm{tg}}\,ACH\).

По теореме Пифагора из треугольника ACH:

\(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,A{H^2} = {\left( {\sqrt {17} } \right)^2} — {4^2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,AH = 1.\)

По определению тангенса из треугольника АCH: \({\rm{tg}}\,ACH = \dfrac{{AH}}{{CH}} = \dfrac{1}{4} = 0,25.\)

Следовательно, \({\rm{tg}}\,ACB = — 0,25\).

Ответ: \( — 0,25\).