Задача 6. В треугольнике ABC \(AC = BC,\;\;AB = 8,\;\;{\text{tg}}\,A = \frac{{33}}{{4\sqrt {33} }}.\) Найдите AC.
ОТВЕТ: 7.
Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН является медианой и АН = ВН. \(AH = BH = \frac{{AB}}{2} = \frac{8}{2} = 4\). Воспользуемся тем, что: \(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}A = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{{{33}^2}}}{{16 \cdot 33}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \frac{{33}}{{16}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{49}}{{16}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos A = \frac{4}{7}\). По определению косинуса из треугольника ACH: \(\cos A = \frac{{AH}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{4}{7} = \frac{4}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = 7\). Ответ: 7.