Задача 6. В треугольнике ABC \(AC = BC,\;\;AB = 8,\;\;{\text{tg}}\,A = \dfrac{{33}}{{4\sqrt {33} }}.\) Найдите AC.

Ответ

ОТВЕТ: 7.

Решение

Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН является медианой и АН = ВН.

\(AH = BH = \dfrac{{AB}}{2} = \dfrac{8}{2} = 4\).

Воспользуемся тем, что:

\(1 + {\rm{t}}{{\rm{g}}^2}A = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \dfrac{{{{33}^2}}}{{16 \cdot 33}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,1 + \dfrac{{33}}{{16}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \)

\( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{{49}}{{16}} = \dfrac{1}{{{{\cos }^2}A}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos A = \dfrac{4}{7}\).

По определению косинуса из треугольника ACH:

\(\cos A = \frac{{AH}}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\dfrac{4}{7} = \dfrac{4}{{AC}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = 7\).

Ответ:  7.