Треугольник АВС равнобедренный, поэтому высота СН является медианой и АН = ВН.
\(AH = BH = \frac{{AB}}{2} = 8\).
По теореме Пифагора из треугольника ACH:
\(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,C{H^2} = {\left( {4\sqrt 5 } \right)^2} — {8^2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,CH = 4\).
По определению тангенса из треугольника AСН:
\({\rm{tg}}\,A = \frac{{CH}}{{AH}} = \frac{4}{8} = 0,5\).
Ответ: 0,5.