Задача 13. В треугольнике ABC проведена биссектриса AD и AB = AD = CD. Найдите меньший угол треугольника ABC. Ответ дайте в градусах.
Треугольник \(ADC\) равнобедренный (AD =CD), значит \(\angle \,CAD = \angle ACD = \alpha \). \(\angle \,ADC = {180^ \circ } — \angle \,CAD — \angle \,ACD = {180^ \circ } — \alpha — \alpha = {180^ \circ } — 2\alpha .\) \(\angle \,ADB = {180^ \circ } — \angle \,ADC = {180^ \circ } — \left( {{{180}^ \circ } — 2\alpha } \right) = 2\alpha .\) Треугольник \(ADB\) равнобедренный (AD = AB), значит \(\angle \,ABD = \angle ADB = 2\alpha \). Углы треугольника АВС равны \(\alpha \), \(2\alpha \) и \(2\alpha \), то есть \(\alpha + 2\alpha + 2\alpha = {180^ \circ }\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5\alpha = {180^ \circ }\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\alpha = {36^ \circ }.\) Наименьший угол треугольника АВС угол С равный \(\alpha = {36^ \circ }.\) Ответ: 36.
Так как \(AD\)– биссектриса, то \(\angle \,BAD = \angle \,CAD = \alpha .\)