ЕГЭ профильный уровень. №1 Треугольник общего вида. Задача 17

Задача 17. В треугольнике ABC угол A равен 60°, угол B равен 82°. AD, BE и CF — биссектрисы, пересекающиеся в точке O. Найдите угол AOF. Ответ дайте в градусах.

Ответ

ОТВЕТ: 49.

Решение

\(\angle \,ACB = {180^ \circ } — {60^ \circ } — {82^ \circ } = {38^ \circ }.\)

\(\angle ACF = \angle \,ACB:2 = {38^ \circ }:2 = {19^ \circ }.\)

Из треугольника ACF:

\(\angle AFC = {180^ \circ } — \angle \,ACF — \angle \,CAF = {180^ \circ } — {19^ \circ } — {60^ \circ } = {101^ \circ }.\)

\(\angle OAF = \angle \,CAF:2 = {60^ \circ }:2 = {30^ \circ }.\)

Из треугольника AOF:

\(\angle AOF = {180^ \circ } — \angle \,OAF — \angle \,AFO = {180^ \circ } — {30^ \circ } — {101^ \circ } = {49^ \circ }.\)

Ответ: 49.