ЕГЭ профильный уровень. №1 Треугольник общего вида. Задача 3

Задача 3. У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

Ответ

ОТВЕТ: 6.

Решение

\(AB = 9,\,\,\,\,\,BC = 6,\,\,\,\,\,CP = 4.\) Запишем площадь треугольника:

\({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AH;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{S_{ABC}} = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot CP.\)

Тогда:

\(\dfrac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot CP\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AH = \dfrac{{AB \cdot CP}}{{BC}} = \dfrac{{9 \cdot 4}}{6} = 6.\)

Ответ: 6.