Задача 10. Периметр прямоугольника равен 34, а площадь равна 60. Найдите диагональ этого прямоугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 13.

Решение

Пусть  \(AD = x\),  \(BC = y\).

\(p = \left( {AD + BC} \right) \cdot 2 = \left( {x + y} \right) \cdot 2 = 34\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x + y = 17.\)

\(S = x \cdot y = 60.\)

Получаем систему уравнений:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 17\,\,\,\,\,\,\,}\\{xy = 60\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\)

Возведём обе части первого уравнения в квадрат:

\({\left( {x + y} \right)^2} = {17^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + {y^2} + 2xy = 289.\)

Так как из второго уравнения  \(xy = 60\), то

\({x^2} + {y^2} + 2 \cdot 60 = 289\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + {y^2} = 169.\)

\(A{C^2} = {x^2} + {y^2} = 169\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AC = 13.\)

Ответ:  13.