ЕГЭ профильный уровень. №1 Квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб. Задача 12

Задача 12. Во сколько раз площадь квадрата, описанного около окружности, больше площади квадрата, вписанного в эту окружность?

Ответ

ОТВЕТ: 2.

Решение

Пусть радиус окружности равен R.

Тогда: \(AB = 2R\) и \({S_{ABCD}} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}.\)

\({A_1}{C_1} = 2R.\)

По теореме Пифагора из треугольника \({A_1}{B_1}{C_1}\):

\({A_1}{C_1}^2 = {A_1}{B_1}^2 + {B_1}{C_1}^2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\left( {2R} \right)^2} = 2{A_1}{B_1}^2\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{A_1}{B_1} = \sqrt 2 R.\)

\({S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = {\left( {\sqrt 2 R} \right)^2} = 2{R^2}.\)

\(\dfrac{{{S_{ABCD}}}}{{{S_{{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}}}} = \dfrac{{4{R^2}}}{{2{R^2}}} = 2.\)

Ответ: 2.