Задача 33. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.
Так как диагонали относятся 3:4, то пусть \(BO = 3x,\,\,\,\,\,AO = 4x.\) По теореме Пифагора из треугольника АОВ: \(A{B^2} = A{O^2} + B{O^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{50^2} = 16{x^2} + 9{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,25{x^2} = 2500\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x = 10.\) \(BO = 30,\,\,\,\,\,\,\,\,AO = 40.\) Из треугольника АОВ: \(OH = \frac{{AO \cdot BO}}{{AB}} = \frac{{30 \cdot 40}}{{50}} = 24.\) Тогда: \(KH = 2 \cdot OH = 2 \cdot 24 = 48.\) Ответ: 48.
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Сторона ромба \(AB = 200:4 = 50.\)