ЕГЭ профильный уровень. №1 Квадрат, прямоугольник, параллелограмм, ромб. Задача 33

Задача 33. Диагонали ромба относятся как 3:4. Периметр ромба равен 200. Найдите высоту ромба.

Ответ

ОТВЕТ: 48.

Решение

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся точкой пересечения пополам. Сторона ромба \(AB = 200:4 = 50.\)

Так как диагонали относятся 3:4, то пусть \(BO = 3x,\,\,\,\,\,AO = 4x.\)

По теореме Пифагора из треугольника АОВ:

\(A{B^2} = A{O^2} + B{O^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,{50^2} = 16{x^2} + 9{x^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,25{x^2} = 2500\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,x = 10.\)

\(BO = 30,\,\,\,\,\,\,\,\,AO = 40.\)

Из треугольника АОВ: \(OH = \dfrac{{AO \cdot BO}}{{AB}} = \dfrac{{30 \cdot 40}}{{50}} = 24.\)

Тогда: \(KH = 2 \cdot OH = 2 \cdot 24 = 48.\)

Ответ: 48.