Задача 9. Периметр прямоугольника равен 28, а диагональ равна 10. Найдите площадь этого прямоугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 48.

Решение

Пусть  \(AD = x\),  \(AB = y\),  \(AC = 10\).

\(p = \left( {AD + AB} \right) \cdot 2 = \left( {x + y} \right) \cdot 2 = 28\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,x + y = 14.\)

По теореме Пифагора из треугольника ADC:   \({x^2} + {y^2} = 100.\)

Получаем систему уравнений:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y = 14\,\,\,\,\,\,\,}\\{{x^2} + {y^2} = 100}\end{array}} \right.\)

Возведём обе части первого уравнения в квадрат:

\({\left( {x + y} \right)^2} = {14^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{x^2} + {y^2} + 2xy = 196.\)

Так как из второго уравнения  \({x^2} + {y^2} = 100\), то

\(100 + 2xy = 196\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,2xy = 96\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,xy = 48.\)

\({S_{ABCD}} = x \cdot y = 48.\)

Ответ:  48.