Задача 3. Большее основание равнобедренной трапеции равно 34. Боковая сторона равна 14. Синус острого угла равен \(\frac{{2\sqrt {10} }}{7}\). Найдите меньшее основание.

Ответ

ОТВЕТ: 22.

Решение

\(AD = 34,\,\,\,\,\,AB = 14,\,\,\,\,\,\sin A = \frac{{2\sqrt {10} }}{7}.\)

ВН – высота.   По основному тригонометрическому тождеству:

\({\sin ^2}A + {\cos ^2}A = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,{\cos ^2}A = 1 — \frac{{40}}{{49}} = \frac{9}{{49}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\cos A = \frac{3}{7}.\)

По определению косинуса из треугольника АВН:

\(\cos A = \frac{{AH}}{{AB}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{3}{7} = \frac{{AH}}{{14}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AH = 6.\)

Тогда:  \(AH = \frac{{AD — BC}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,6 = \frac{{34 — BC}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,BC = 22.\)

Ответ:  22.