Задача 2. Хорда AB стягивает дугу окружности в 92°. Найдите угол ABC между этой хордой и касательной к окружности, проведенной через точку B. Ответ дайте в градусах.
Пусть \( \cup AB = 2\alpha \), то есть \(\angle AOB = 2\alpha \). Треугольник OAB равнобедренный \(\left( {OA = OB = R} \right)\). Тогда: \(\angle OAB = \angle OBA = \frac{{{{180}^ \circ } — 2\alpha }}{2} = {90^ \circ } — \alpha .\) Так как ОВ радиус, а ВС – касательная, то \(\angle OBC = {90^ \circ }.\) Тогда: \(\angle ABC = \angle OBC — \angle OBA = {90^ \circ } — \left( {{{90}^ \circ } — \alpha } \right) = \alpha .\) Следовательно: \(\angle ABC = \frac{{ \cup AB}}{2} = \frac{{{{92}^ \circ }}}{2} = {46^ \circ }.\) Ответ: 46.
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними. Докажем это: