Задача 3. Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32°. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.
Пусть \( \cup AB = 2\alpha \), то есть \(\angle AOB = 2\alpha \). Треугольник OAB равнобедренный \(\left( {OA = OB = R} \right)\). Тогда: \(\angle OAB = \angle OBA = \frac{{{{180}^ \circ } — 2\alpha }}{2} = {90^ \circ } — \alpha .\) Так как ОВ радиус, а ВС – касательная, то \(\angle OBC = {90^ \circ }.\) Тогда: \(\angle ABC = \angle OBC — \angle OBA = {90^ \circ } — \left( {{{90}^ \circ } — \alpha } \right) = \alpha .\) Следовательно: \( \cup AB = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot {32^ \circ } = {64^ \circ }.\) Ответ: 64.
Угол между касательной и хордой равен половине дуги, заключённой между ними. Докажем это: