Задача 10. Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен \(\frac{{\sqrt 3 }}{6}\). Найдите сторону этого треугольника.
Первый вариант решения: По определению тангенса из треугольника АОН: \({\rm{tg}}\angle OAH = \frac{{OH}}{{AH}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,{\rm{tg}}\,{30^ \circ } = \frac{{\sqrt 3 }}{{6 \cdot AH}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \) \( \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{{\sqrt 3 }}{{6 \cdot AH}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,AH = 0,5.\) Тогда: \(AB = 2 \cdot AH = 2 \cdot 0,5 = 1.\) Ответ: 1. Второй вариант решения: Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S = p \cdot r = \frac{{3 \cdot AB \cdot r}}{2}\). С другой стороны площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: \(S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin {60^ \circ } = \frac{1}{2} \cdot A{B^2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\) Приравнивая эти две площади и учитывая, что \(r = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\), получим: \(\frac{{3 \cdot AB \cdot r}}{2} = \frac{1}{2} \cdot A{B^2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{{3 \cdot AB \cdot \sqrt 3 }}{{12}} = \frac{1}{2} \cdot A{B^2} \cdot \frac{{\sqrt 3 }}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,AB = 1.\) Ответ: 1.
По условию радиус вписанной окружности \(OH = \frac{{\sqrt 3 }}{6}\), а АО – является биссектрисой и \(\angle OAH = \frac{{{{60}^ \circ }}}{2} = {30^ \circ }.\)