Задача 11. Сторона ромба равна 1, острый угол равен 30°. Найдите радиус вписанной окружности этого ромба.
Первый вариант решения: \(\sin {30^ \circ } = \frac{{DH}}{{AD}}\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2} = \frac{{DH}}{1}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,DH = 0,5.\) КР – диаметр вписанной окружности. КР = DH = 0,5. Следовательно: \(r = \frac{{KP}}{2} = \frac{{0,5}}{2} = 0,25.\) Ответ: 0,25. Второй вариант решения: Площадь ромба равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S = p \cdot r.\) В данном случае: \(p = \frac{4}{2} = 2,\,\,\,\,\,\,\,S = 2r.\) С другой стороны площадь ромба равна произведению двух его сторон на синус угла между ними: \(S = AB \cdot AD \cdot \sin DAB = 1 \cdot 1 \cdot \sin {30^ \circ } = \frac{1}{2}.\) Следовательно: \(2r = \frac{1}{2}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,r = 0,25.\) Ответ: 0,25.
По определению синуса из треугольника ADH: