Задача 12. Острый угол ромба равен 30°. Радиус вписанной в этот ромб окружности равен 2. Найдите сторону ромба.
Первый вариант решения: \(KP = 2 \cdot 2 = 4,\) \(DH = KP = 4.\) По определению синуса из треугольника ADH: \(\sin {30^ \circ } = \frac{{DH}}{{AD}}\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2} = \frac{4}{{AD}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AD = 8.\) Ответ: 8. Второй вариант решения: Площадь ромба равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S = p \cdot r.\) \(p = \frac{{4 \cdot AB}}{2} = 2 \cdot AB\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,S = 2 \cdot AB \cdot 2 = 4AB.\) С другой стороны площадь ромба равна произведению двух его сторон на синус угла между ними: \(S = AB \cdot AD \cdot \sin DAB = A{B^2} \cdot \sin {30^ \circ } = \frac{{A{B^2}}}{2}.\) Приравнивая эти две площади, получим: \(4AB = \frac{{A{B^2}}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,4 = \frac{{AB}}{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,AB = 8.\) Ответ: 8.
KP – диаметр вписанной окружности. Следовательно: