Задача 15. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны \(2 + \sqrt 2 \). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Первый вариант решения:

По теореме Пифагора из треугольника АВС:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,A{B^2} = 2 \cdot A{C^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AB = AC\sqrt 2  = \sqrt 2 \left( {2 + \sqrt 2 } \right) = 2\sqrt 2  + 2.\)

Радиус окружности, вписанной в прямоугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

\(r = \frac{{AC + BC-AB}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 2  + 2 + \sqrt 2 -2\sqrt 2 -2}}{2} = 1.\)

Ответ:  1.

Второй вариант решения:

\(AB = AC \cdot \sqrt 2  = \left( {2 + \sqrt 2 } \right)\sqrt 2  = 2\sqrt 2  + 2.\)

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S = p \cdot r.\)

\(p = \frac{{AC + BC + AB}}{2} = \frac{{2 + \sqrt 2  + 2 + \sqrt 2  + 2\sqrt 2  + 2}}{2} = 2\sqrt 2  + 3.\)

С другой стороны площадь треугольника равна половине произведения его катетов:

\(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{{{{\left( {2 + \sqrt 2 } \right)}^2}}}{2} = \frac{{4 + 4\sqrt 2  + 2}}{2} = 2\sqrt 2  + 3.\)

Следовательно:  \(\left( {2\sqrt 2  + 3} \right) \cdot r = 2\sqrt 2  + 3\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,r = 1.\)

Ответ:  1.