Задача 16. В треугольнике ABC \(AC = 4,\;\;BC = 3,\) угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.
ОТВЕТ: 1.
Первый вариант решения: По теореме Пифагора из треугольника АВС: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AB = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5.\) Радиус окружности, вписанной в прямоугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: \(r = \frac{{AC + BC-AB}}{2} = \frac{{4 + 3-5}}{2} = 1.\) Ответ: 1. Второй вариант решения: По теореме Пифагора из треугольника АВС: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AB = \sqrt {{4^2} + {3^2}} = 5.\) Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S = p \cdot r.\) \(p = \frac{{AC + BC + AB}}{2} = \frac{{4 + 3 + 5}}{2} = 6.\) С другой стороны площадь треугольника равна половине произведения его катетов: \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{{4 \cdot 3}}{2} = 6.\) Следовательно: \(6 \cdot r = 6\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,r = 1.\) Ответ: 1.