Задача 16. В треугольнике ABC \(AC = 4,\;\;BC = 3,\) угол C равен 90°. Найдите радиус вписанной окружности.

Ответ

ОТВЕТ: 1.

Решение

Первый вариант решения:

По теореме Пифагора из треугольника АВС:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AB = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5.\)

Радиус окружности, вписанной в прямоугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы:

\(r = \frac{{AC + BC-AB}}{2} = \frac{{4 + 3-5}}{2} = 1.\)

Ответ:  1.

Второй вариант решения: 

По теореме Пифагора из треугольника АВС:

\(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AB = \sqrt {{4^2} + {3^2}}  = 5.\)

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S = p \cdot r.\)

\(p = \frac{{AC + BC + AB}}{2} = \frac{{4 + 3 + 5}}{2} = 6.\)

С другой стороны площадь треугольника равна половине произведения его катетов:

\(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{{4 \cdot 3}}{2} = 6.\)

Следовательно:  \(6 \cdot r = 6\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,r = 1.\)

Ответ:  1.