Задача 17. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 5, основание равно 6. Найдите радиус вписанной окружности.
По теореме Пифагора из треугольника АСН: \(A{C^2} = A{H^2} + C{H^2}\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,C{H^2} = {5^2}-{3^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,CH = 4.\) Тогда: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12.\) С другой стороны площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S = p \cdot r.\) \(p = \frac{{5 + 5 + 6}}{2} = 8;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,S = 8r.\) Следовательно: \(8r = 12\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,r = 1,5.\) Ответ: 1,5.
АВ = 6. Так как треугольник равнобедренный (АС = ВС = 5), то \(AH = BH = \frac{{AB}}{2} = \frac{6}{2} = 3.\)