Задача 24. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.

Ответ

ОТВЕТ: 24.

Решение

Отрезки касательных, проведённых к окружности из точек N, P, T, E, K, М  соответственно равны друг другу. На рисунке равные отрезки выделены одинаковым цветом. Поэтому:

\({P_{CNP}} = CN + NR + CP + PR = CN + NQ + CP + PF = CQ + CF\)

\({P_{AMK}} = AM + ML + AK + KL = AM + MQ + AK + KD = AQ + AD\)

\({P_{BET}} = BT + TO + BE + EO = BT + TF + BE + ED = BF + BD\)

Сложив правые части полученных равенств, получим:

\(\left( {CQ + AQ} \right) + \left( {CF + BF} \right) + \left( {AD + BD} \right) = AC + BC + AB = {P_{ABC}}\)

Следовательно:

\({P_{ABC}} = {P_{CNP}} + {P_{AMK}} + {P_{BET}} = 6 + 8 + 10 = 24.\)

Ответ:  24.