ЕГЭ профильный уровень. №1 Вписанные окружности. Задача 24math100admin44242023-08-10T09:31:42+03:00
Задача 24. К окружности, вписанной в треугольник ABC, проведены три касательные. Периметры отсеченных треугольников равны 6, 8, 10. Найдите периметр данного треугольника.
Решение
Отрезки касательных, проведённых к окружности из точек N, P, T, E, K, М соответственно равны друг другу. На рисунке равные отрезки выделены одинаковым цветом. Поэтому:
\({P_{CNP}} = CN + NR + CP + PR = CN + NQ + CP + PF = CQ + CF\)
\({P_{AMK}} = AM + ML + AK + KL = AM + MQ + AK + KD = AQ + AD\)
\({P_{BET}} = BT + TO + BE + EO = BT + TF + BE + ED = BF + BD\)
Сложив правые части полученных равенств, получим:
\(\left( {CQ + AQ} \right) + \left( {CF + BF} \right) + \left( {AD + BD} \right) = AC + BC + AB = {P_{ABC}}\)
Следовательно:
\({P_{ABC}} = {P_{CNP}} + {P_{AMK}} + {P_{BET}} = 6 + 8 + 10 = 24.\)
Ответ: 24.