Задача 26. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, считая стороны квадратных клеток равными 1.
ОТВЕТ: 1.
Первый вариант решения: AC = 3, BC = 4. По теореме Пифагора из треугольника АВС: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AB = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5.\) Радиус окружности, вписанной в прямоугольник, равен половине разности суммы катетов и гипотенузы: \(r = \frac{{AC + BC-AB}}{2} = \frac{{3 + 4-5}}{2} = 1.\) Ответ: 1. Второй вариант решения: AC = 3, BC = 4. По теореме Пифагора из треугольника АВС: \(A{B^2} = A{C^2} + B{C^2}\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,AB = \sqrt {{3^2} + {4^2}} = 5.\) Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности: \(S = p \cdot r.\) \(p = \frac{{AC + BC + AB}}{2} = \frac{{3 + 4 + 5}}{2} = 6.\) С другой стороны площадь треугольника равна половине произведения его катетов: \(S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{{3 \cdot 4}}{2} = 6.\) Следовательно: \(6 \cdot r = 6\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,r = 1.\) Ответ: 1.